Chapter Chosen

ત્રિકોણની સમરૂપતા

Book Chosen

ગણિત ધોરણ ૧૦

Subject Chosen

ગણિત

Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for
CBSE Gujarat Board Haryana Board

Previous Year Papers

Download the PDF Question Papers Free for off line practice and view the Solutions online.
Currently only available for
Class 10 Class 12

∆XYZ અને ∆DEFનાં શિરોબિંદુઓ વચ્ચેની સંગતતા XYZ↔EFD સમરૂપતાં છે.

જો m∠X:m∠Y:m∠Z = 2:3:5, તો બતાવો કે ∆DEF કાટકોણ ત્રિકોણ છે.


∆XYZ માં, m∠X:m∠Y: m∠Z 2:3:5

ધારો કે, m∠X = 2k: જ્યાં k > 0


∴ m∠Y = 3k અને m∠Z = 5k થાય.


∆XYZમાં, M∠X + m∠Y + m∠Z = 180


∴ 2k + 3k + 5k = 180


∴ 10k = 180


∴ k = 18


∴ m∠Z = 5k = 5 × 18 = 90


∆XYZ અને ∆DEFનાં શિરોબિંદુંઓ વચ્ચેની સંગતતા XYZ↔EFD સમરૂપતાં છે.


∴∠Z ≅∠D


∴ m∠Z = m∠D


∴ m∠D = 90 (∵m∠Z = 90)


આમ, ∆DEFમાં ∠D કાટખૂણો છે.


માટે ∆DEF કાટકોણ ત્રિકોણ છે.


નીચેની આકૃતિઓમાં બતાવેલા ત્રિકોણો સમરૂપ છે કે નહિ તે ચકાસો. 


આકૃતિમાં ∆PQR અને ∆XYZની સંગતતા PQR↔XYZ ના સંદર્ભમાં ∠P≅∠X ∠Q≅∠Y અને ∠R≅∠Z આપેલ છે.

bold PQ over bold XY equals bold 3 over bold 2 comma bold QR over bold YZ equals fraction numerator bold 7 bold. bold 5 over denominator bold 5 end fraction equals bold 75 over bold 50 equals bold 3 over bold 2 bold અન ે

bold RP over bold ZX bold space bold equals bold space bold 9 over bold 6 bold space bold equals bold space bold 3 over bold 2 bold space

bold આમ bold comma bold space bold PQ over bold XY bold space bold equals bold OR over bold YZ bold space bold equals bold space bold RP over bold ZX bold space bold space bold મળ ે bold space bold છ ે bold.
 
તદઉપરાંત,

તેથી ∆PQR અને ની સંગતતા PQR↔XYZ માટે અનુરૂપ ખૂણાઓ એકરૂપ છે તથા અનુરૂપ બાજુઓનાં માપ સમપ્રમાણમાં છે.


માટે સંગતતા PQR↔XYZ માટે ∆PQR~∆XYZ છે.

નીચેની આકૃતિઓમાં બતાવેલા ત્રિકોણો સમરૂપ છે કે નહિ તે ચકાસો. 


આકૃતિમાં ∆ABC અને ∆PQR બંને સમબાજુ ત્રિકોણો છે. સમબાજુ ત્રિકોણના દરેક ખૂણાનું માપ 60 હોય. માટે m∠A = m∠B = m∠C = 60 અને m∠P = m∠Q = m∠R = 60.

આમ, ∠A≅∠P, ∠B≅∠Q, અને ∠m≅∠R મળે.

∆ABC અને ∆PQR સમબાજુ ત્રિકોણો છે.


∴ AB = BC = CA = p (ધારો) જ્યાં, p>0


∴ PQ = QR = RP = q (ધારો) જ્યાં q>0


અહીં, p અને q ત્રિકોણની બાજુઓનાં માપ હોવાથી, p > 0 તથા q > 0.

bold હવ ે bold comma bold space bold AB over bold PQ bold equals bold p over bold q bold comma bold BC over bold QR bold equals bold p over bold q bold અન ે bold space bold CA over bold RP bold equals bold p over bold q

bold એટલ ે bold space bold ક ે bold comma bold space bold AB over bold PQ bold equals bold BC over bold QR bold equals bold CA over bold RP bold equals bold p over bold q bold greater than bold 0 bold.


આમ, ∆ABC અને ∆PQR ની સંગતતા ABCPQR માટે અનુરૂપ ખૂણાઓ એકરૂપ છે તથા અનુરૂપ બાજુઓનાં માપ સમપ્રમાણમાં છે. માટે સંગતતા ABCPQR માટે ∆ABC∆PQR છે.


નોંધ : ∆ABC અને ∆PQR સમબાજુ ત્રિકોણો હોવાથી તેમની બધી જ છ સંગતતા સમરૂપતાં છે.


નીચેની આકૃતિઓમાં બતાવેલા ત્રિકોણો સમરૂપ છે કે નહિ તે ચકાસો. 


આકૃતિમાં ∆ABCનો A એ ∆LMNના કોઈ પણ ખૂણાને એકરૂપ નથી. આથી, ∆ABC અને ∆LMNની કોઈ પણ સંગતતા માટે તેના અનુરૂપ ખૂણાઓ એકરૂપ ન થઈ શકે. 

∆ABC અને ∆PQRમાં mA = mQ = 90, AB = AC = 5, BC = 2square root of bold 2, PQ = QR = 2, PR = 2square root of bold 2. ∆ABC  અને ∆PQR સમરૂપ છે ? જો હા, તો કઈ રીતે બે ત્રિકોણો વચ્ચેની કઈ સંગતતા સમરૂપત છે. 


∆ABCમાં, AB = AC

m∠C = m∠B


∆ABCમાં, m∠A + m∠B + m∠C = 180


90 + m∠B + m∠B = 180 (∵m∠A=90, m∠C = m∠B)


∴ 2m∠B = 90


∴ m∠B = 45


∴ m∠C = 45


∆PQRમાં, PQ= QR


∴m∠R = m∠R = m∠P


∆PQRમાં, m∠P + m∠Q, m∠R = 180


∴ m∠p + 90 + m∠P = 180 (∵m∠Q = 90. m∠R = m∠P)


∴ 2m∠P = 90


∴ m∠P = 45


∴ m∠R = 45


∆ABC અને ∆PQRની સંગતતા ABC↔QRP માટે


m∠A = m∠Q = 90 ∠A ≅ ∠Q


m∠B = m∠R = 45 ∠B ≅ ∠R


m∠C = m∠P = 45 ∠C ≅ ∠P



bold AB over bold QR bold equals bold 5 over bold 2 bold comma bold BC over bold RP bold equals fraction numerator bold 5 square root of bold 2 over denominator bold 2 square root of bold 2 end fraction bold equals bold 5 over bold 2 bold space bold અન ે bold space bold CA over bold PQ bold equals bold 5 over bold 2

bold આમ bold comma bold space bold AB over bold QR bold equals bold BC over bold RP bold equals bold CA over bold PQ


આ રીતે ∆ABC અને ∆PQRની સંગતતા ABC↔QRP માટે અનુરૂપ ખૂણાઓ એકરૂપ છે અને અનુરૂપ બાજુઓનાં માપ સમપ્રમાણમાં છે. માટે ∆ABC અને ∆PQRની સંગતતા ABC↔QRPની સમરૂપતા છે.

વળી, ∆ABC અને ∆PQRની સંગતતા ABCbold left right arrowQRP માટે


m∠A = m∠Q = 90 ∠A ≅ ∠Q


m∠B = m∠P = 45 ∠B ≅ ∠P


m∠C = m∠R = 45 ∠C ≅ ∠R



bold AB over bold QP bold equals bold 5 over bold 2 bold comma bold BC over bold PR bold equals fraction numerator bold 5 square root of bold 2 over denominator bold 2 square root of bold 2 end fraction bold equals bold 5 over bold 2 bold space bold અન ે bold space bold CA over bold RQ bold equals bold 5 over bold 2

આ રીતે ∆ABC અને ∆PQRની સંગતતા ABC↔PQR માટે અનુરૂપ ખૂણાઓ એકરૂપ છે અને અનુરૂપ બાજુઓનાં માપ સમપ્રમાણમાં છે.

માટે ∆ABC અને ∆PQRની સંગતતા ABC↔PQR સમરૂપતા


અહીં સમરૂપ ત્રિકોણ ∆ABC અને ∆PQR સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણો હોવાથી તેમની બે સંગતતાઓ સમરૂપતા છે.