Chapter Chosen

યુક્લિડની ભાગવિધિ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

Book Chosen

ગણિત ધોરણ ૧૦

Subject Chosen

ગણિત

Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for
CBSE Gujarat Board Haryana Board

Previous Year Papers

Download the PDF Question Papers Free for off line practice and view the Solutions online.
Currently only available for
Class 10 Class 12
સબિત કરો કે, n યુગ્મ ધન પૂર્ણાંક હોય, તો 3n + 1 એ 2 વડે વિભાજ્ય છે, પરંતુ 2m વડે વિભાજ્ય નથી; જ્યાં, m ≥ 2, m ε  N. જો n એ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક હોય, તો 3n + 1 એ 4 વડે વિભાજ્ય છે પરંતુ 2m વડે વિભાજ્ય નથી; જ્યાં, m ≥ 3, m ε  n. (અયુગ્મ પૂર્ણાંકનો વર્ગ 8k + 1 સ્વરૂપનો હોય છે એ સત્યનો ઉપયોગ કરો.) 

જો n યુગ્મ હોય, તો ધારો કે n = 2k.  

આથી 3= 32k = (3k)2 = 8a + 1 


(∴ 3k અયુગ્મ છે તથા પક્ષ પરથી અયુગ્મ પૂર્ણાંકનો વર્ગ 8k + 1 સ્વરૂપનો હોય છે.)

∴ 3n + 1 = 8a + 2 = 2 (4a + 1) 


∴ 3n + 1 એ 2 વડે વિભાજ્ય છે અને 4a + 1 અયુગ્મ હોવાથી


3n + 1 એ 2m વડે વિભાજ્ય નથી.


જ્યાં m ≥ 2. m ε N. 


જો n એ અયુગ્મ હોય, તો n = 2k + 1 લેતા,

3n + 1 = 32k + 1 + 1 


=3 • 32k + 1 


=3 (8A + 1) + (3k અયુગ્મ છે)

= 24a + 4 


= 4 (6a + 1) 


∴ 3n + 1 એ 4 વડે વિભાજ્ય છે અને 6a + 1  અયુગ્મ હોવાથી 3n + 1 એ 2m વડે વિભાજ્ય નથી. જ્યાં, m ≥ 3 m ε N.


સાબિત કરો કે પ્રત્યેક પૂર્ણાંક સંખ્યાનો વર્ગ એ 9k અથવા 3k + 1 સ્વરૂપનો હોય છે. (k ε Z) 

આપણે જાણિએ છીએ કે, દરેક પૂર્ણાંક a એ 3m અથવા 3m + 1 અથવા 3m + 2 સ્વરૂપમાં હોય છે; જ્યાં m ε Z.

પરંતુ 3m + 2 = 3m + 3 - 1 = 3(m + 1) - 1 = 3m - 1 (જ્યાં, m = m + 1 ε Z લેતાં) થવાથી,

a = 3m અથવા a = 3m + 1 જ્યાં, m ε Z

bold thereforea2 = 9m2  = 9k જ્યાં, k = m2 ε Z અથવા

a2 =(3m + 1)2 = 9m2 + 6m + 1 = 3(3m2 + 2m) + 1 = 3k + 1 જ્યાં, k = 3m2 + 2m ε Z

bold thereforea2 એ 9 વડે વિભાજ્ય છે. અથવા a2 = 3k + 1, k ε Z 

આમ, પ્રત્યેક પૂર્ણંક સંખ્યાનો વર્ગ એ 9k અથવા 3k + 1 સ્વરૂપનો હોય છે. (k ε Z) 


સાબિત કરો કે, કોઈ પણ n ε N માટે n(n+1) (2n+1) એ 6 વડે વિભાજ્ય છે. 

જો n = 1 તો n(n + 1) (2n + 1)

= 1(1+1) (2 (1)+1)


= 2 × 3


6 × 1, જે વડે 6 વિભાજ્ય છે.


જો n = 2 તો n (n+1) (2n+1)


= 2(2+1) (2) (2) + 1)


= 2 × 3 × 5


= 6 × 5, જે 6 વડે વિભાજ્ય છે.


હવે, ધારો કે n ≥ 3


n અથવા n + 1 માંથી એક યુગ્મ છે, કારણ કે એ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે.


∴ n(n+1) (2n+1) એ હંમેશા વડે વિભાજ્ય છે.


વળી, n(n ≥ 3) એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી કોઈક k ε N માટે,


n = 3k અથવા n = 3k + 1 અથવા n = 3k +2 થાય.


વિકલ્પ 1 : n = 3k માટે,


= n(n + 1) (2n + 1)


= 3k(3k + 1) (2 (3k) + 1)


= 3(k (3k+1) (6k + 3)


જે 3 વડે વિભાજ્ય છે.


વિકલ્પ 2 : n = 3k + 1 માટે,


n(n + 1) (2n + 1)


= (3k + 1) (3k + 1) + 1) (2 (3k + 2) + 1)


= (3k + 1) (3k + 2) (6k +3)


= 3 [(3k + 1) (3k + 2) (2k + 1)]


જે 3 વડે વિભાજ્ય છે.


વિકલ્પ 3 : n = 3k + 2 માટે,


n(n + 1) (2n + 1)


= (3k + 2) (3k + 2 + 1) (2 (3k + 2) +1)


= (3k + 2)( (3k + 3) (6k + 5)


= 3[ (3k + 2) (k + 1) (6k + 5) ]


જે 3 વડે વિભાજ્ય છે.


આમ, કોઈ પણ વિકલ્પમાં n(n + 1) (2n + 1) એ 3 વડે વિભાજ્ય છે. ઉપરાંત n(n + 1) (2n + 1) તો 2 વડે વિભાજ્ય છે જ.


વળી, 2 અને 3 પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,


n(n + 1) (2n + 1) એ 2 × 3 = 6 વડે વિભાજ્ય છે.


સાબિત કરો કે, અયુગ્મ પૂર્ણાંકના વર્ગમાંથી 1 બાદ કરવમાં આવે તો પરિણામે મળૅતો પૂર્ણાંક 8નો ગુણિત થાય છે. 

આપણે જાણીએ છીએ કે, કોઈ પણ અયુગ્મ પૂર્ણાંક a એ a=4k+1 અથવા a=4k+3 સ્વરૂપમાં હોય છે. 

જ્યાં kεZ 

bold thereforea= (4k + 1)2  અથવા a= (4k + 3)2 

bold thereforea= 16k+ 8k અથવા  a= 16k+ 24k + 9 

bold thereforea2-1 = 16k + 8k અથવા a2-1 = 16k+ 24k + 8 

bold thereforea- 1 = 2(2k+ k) અથવા a2-1 = (2k+ 3k + 1)

આમ, a- 1 એ 8 વડે વિભાજ્ય છે. 

bold thereforeઅયુગ્મ પૂર્ણાંકના વર્ગમાંથી 1 બાદ કરતાં મળતો પૂર્ણાંક 8 નો ગુણિત થાય છે. 

બીજી રીત :

ભાગ-પ્રવિધિ પ્રમાણે કોઈ પણ પૂર્ણાંક a માટે, 

a = bk + r જ્યાં, kεz તથા = bold 1 over bold 2open vertical bar bold b close vertical bar< r less-than or slanted equal tobold 1 over bold 2 bold space open vertical bar bold b close vertical bar

અહીં, b=4 લેતાં, 

a = 4k + r જ્યાં, kεZ તથા -2 < r bold less-than or slanted equal to 2 (bold becauseb = 4 માટે - bold 1 over bold 2 bold cross times bold 4 bold space bold equals bold space bold minus bold 2 )
હવે, -2 < r bold less-than or slanted equal to2 એટલે કે, 

r = -1 અથવા 0 અથવા 1 અથવા 2

પરંતું એ અયુગ્મ સંખ્યા છે. 

bold thereforer = 0 અને r = 2 શક્ય નથી. 

આથી a = 4k + (-1) અથવા a = 4K + 1, kεZ

bold thereforea = 4k+1 

bold thereforea+ (4k+1)2

bold thereforea- 1 = 8 (2k + k)

આમ, a- 1 એ 8 વડે વિભાજ્ય છે. 

bold thereforeઅયુગ્મ પૂર્ણાંકના વર્ગમાંથી 1 બાદ કરતાં મળતો પૂર્ણાંક 8 નો ગુણિત થાય છે.


સાબિત કરો કે, કોઈ પણ પૂર્ણાંકનો ધન એ 9m અથવા 9m + 1 સ્વરૂપનો હોય છે. 

આપણે જાણીએ છીએ કે, દરેક પૂર્ણાંક a એ 3k અથવા 3k + 1 અથવા 3k + 2 ના સ્વરૂપમાં હોય છે; જ્યાં k ε Z.

∴ a = 3k અથવા a = 3k + 1 અથવા

a = 3k + 2 k ε Z


વિકલ્પ 1 : a = 3k માટે


a =3k 


∴ a3 = (3) માટે,


= 9 × (3k3) = 9m જ્યાં, = 3k3 ε Z


∴ a3 = 9m 


વિકલ્પ 2 : a =3k + 1 માટે,


a = 3k + 1


∴ a3 = (3k + 1)3


= (3k)3 + 13 + 3(3k) (1) (3k + 1)


= 27k3 + 1 + 27k2 + 9k 


= 9(3k3 +‌ 3k2 + k) + 1


= 9m + 1


જ્યાં, m=3k3+ 3k2 + k ε z


∴ a3 = 9m + 1


વિકલ્પ 3 : a = 3k + 2 માટે


a = 3k + 2


∴ a3 = (3k +2)3


= (3k)3 + 23 + 3(3k) (2) (3k + 2)

 
= 27k3 + 8 + 54k2 + 36k 


= 27k3 + 54k2 + 36k + 9 - 1


= 9(3k3 + 6k2 + 4k +1) - 1


= 9m - 1


જ્યાં, m = 3k3 +6k2 + 4k + 1 ε Z


∴ a3 = 9m - 1


આમ, વિકલ્પ 1, વિકલ્પ 2 અને વિકલ્પ 3 પરથી સાબિત થયું કે, કોઈ પણ પૂર્ણાંકનો ધન એ 9 અથવા
9m + 1 સ્વરૂપનો હોય છે. (m ε Z)