યુક્લિડની ભાગવિધિ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

આપણે જાણીએ છીએ કે, દરેક પૂર્ણાંક a એ 3k અથવા 3k + 1 અથવા 3k + 2 ના સ્વરૂપમાં હોય છે; જ્યાં k ε Z.

∴ a = 3k અથવા a = 3k + 1 અથવા

a = 3k + 2 k ε Z

વિકલ્પ 1 : a = 3k માટે

a =3k 

∴ a³ = (3) માટે,

= 9 × (3k³) = 9m જ્યાં, = 3k³ ε Z

∴ a³ = 9m 

વિકલ્પ 2 : a =3k + 1 માટે,

a = 3k + 1

∴ a³ = (3k + 1)³

= (3k)³ + 13 + 3(3k) (1) (3k + 1)

= 27k³ + 1 + 27k² + 9k 

= 9(3k³ +‌ 3k² + k) + 1

= 9m + 1

જ્યાં, m=3k³+ 3k² + k ε z

∴ a³ = 9m + 1

વિકલ્પ 3 : a = 3k + 2 માટે

a = 3k + 2

∴ a³ = (3k +2)³

= (3k)³ + 2³ + 3(3k) (2) (3k + 2)
 
= 27k³ + 8 + 54k² + 36k 

= 27k³ + 54k² + 36k + 9 - 1

= 9(3k³ + 6k² + 4k +1) - 1

= 9m - 1

જ્યાં, m = 3k³ +6k² + 4k + 1 ε Z

∴ a³ = 9m - 1

આમ, વિકલ્પ 1, વિકલ્પ 2 અને વિકલ્પ 3 પરથી સાબિત થયું કે, કોઈ પણ પૂર્ણાંકનો ધન એ 9 અથવા
9m + 1 સ્વરૂપનો હોય છે. (m ε Z)