CBSE
Gujarat Board
Haryana Board
Class 10
Class 12
જો n = 1 તો n(n + 1) (2n + 1)
= 1(1+1) (2 (1)+1)
= 2 × 3
6 × 1, જે વડે 6 વિભાજ્ય છે.
જો n = 2 તો n (n+1) (2n+1)
= 2(2+1) (2) (2) + 1)
= 2 × 3 × 5
= 6 × 5, જે 6 વડે વિભાજ્ય છે.
હવે, ધારો કે n ≥ 3
n અથવા n + 1 માંથી એક યુગ્મ છે, કારણ કે એ બે ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે.
∴ n(n+1) (2n+1) એ હંમેશા વડે વિભાજ્ય છે.
વળી, n(n ≥ 3) એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી કોઈક k ε N માટે,
n = 3k અથવા n = 3k + 1 અથવા n = 3k +2 થાય.
વિકલ્પ 1 : n = 3k માટે,
= n(n + 1) (2n + 1)
= 3k(3k + 1) (2 (3k) + 1)
= 3(k (3k+1) (6k + 3)
જે 3 વડે વિભાજ્ય છે.
વિકલ્પ 2 : n = 3k + 1 માટે,
n(n + 1) (2n + 1)
= (3k + 1) (3k + 1) + 1) (2 (3k + 2) + 1)
= (3k + 1) (3k + 2) (6k +3)
= 3 [(3k + 1) (3k + 2) (2k + 1)]
જે 3 વડે વિભાજ્ય છે.
વિકલ્પ 3 : n = 3k + 2 માટે,
n(n + 1) (2n + 1)
= (3k + 2) (3k + 2 + 1) (2 (3k + 2) +1)
= (3k + 2)( (3k + 3) (6k + 5)
= 3[ (3k + 2) (k + 1) (6k + 5) ]
જે 3 વડે વિભાજ્ય છે.
આમ, કોઈ પણ વિકલ્પમાં n(n + 1) (2n + 1) એ 3 વડે વિભાજ્ય છે. ઉપરાંત n(n + 1) (2n + 1) તો 2 વડે વિભાજ્ય છે જ.
વળી, 2 અને 3 પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,
n(n + 1) (2n + 1) એ 2 × 3 = 6 વડે વિભાજ્ય છે.