Chapter Chosen

રચના

Book Chosen

ગણિત ધોરણ ૧૦

Subject Chosen

ગણિત

Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for
CBSE Gujarat Board Haryana Board

Previous Year Papers

Download the PDF Question Papers Free for off line practice and view the Solutions online.
Currently only available for
Class 10 Class 12
કેન્દ્ર ન આપ્યું હોય તો વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને સ્પર્શકોની એક જોડ દોરો. 

પક્ષ : જેનું કેન્દ્ર આપેલ નથી તેવા વર્તુળની બહાર એક બિંદુ A આપેલું છે. 

કૃત્ય : આપેલ વર્તુળને બિંદુ A માંથી બે સ્પર્શકો દોરવા. 



રચનાના મુદ્દા : 

(1) બે સમાંતર ન હોય તેવી જીવાઓ top enclose bold PQ અને top enclose bold RS દોરી. 

(2) top enclose bold PQ અને top enclose bold RS ના લંબદ્વિભાજકો એવી રીતે દોર્યા કે જેઓ એકબીજાને O બિંદુમાં છેદે. O આપેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર થશે. 

(3) top enclose bold OA દોર્યો. 


(4) top enclose bold OA ને Mમાં છેદતો top enclose bold OA નો લંબદ્વિભાજક દોર્યો. 

(5) ⊙(O, OP) ને B અને Cમાં છેદે તે રીતે ⊙(M, OM) દોર્યું. 


(6) top enclose bold AB અને top enclose bold AC દોર્યા. 

આમ, bold AB with bold left right arrow on top અને bold AC with bold left right arrow on top એ માંગેલા સ્પર્શકોની જોડ છે. 

આપેલ રેખાખંડને ત્રણ એકરૂપ ભાગમાં વિભાજીત કરો. 

પક્ષ : top enclose bold AB આપેલ છે. 
સાધ્ય : top enclose bold AB ના ત્રણ એકરૂપ ભાગ કરવાના છે. 


રચનાના મુદ્દા : 

(1) bold AB with bold left right arrow on topના ભિન્ન અર્ધતલમાં bold AX with bold rightwards arrow on top અને bold BY with bold rightwards arrow on top દોરીએ. કે જેહી લઘુકોણો ∠XAB તથા ∠YBA મળે અને bold angle bold XAB bold space bold approximately equal to bold angle bold space bold YBA

(2)અનૂકૂળ ત્રિજ્યા લઈ, Aને કેન્દ્ર લઈ bold AX with bold rightwards arrow on top ને A1માં છેદતું બીજું એક ચાપ દોરીએ. આ જ પ્રમાણે આટલી જ ત્રિજ્યા રખી A1ને કેન્દ્ર લઈ bold AX with bold rightwards arrow on top ને A2માં છેદતું બીજું એક ચાપ એવી રીતે દોરીએ કે જેથી A-A1-A2 થાય. અહીં, AA1 = A1A2 થશે. 

(3) B ને કેન્દ્ર લઈ અને મુદ્દા(2) પ્રમાણેની જ ત્રિજ્યા રાખી bold BY with bold rightwards arrow on top ને B1માં છેદતું એક ચાપ દોરીએ. ફરીથી B1ને કેન્દ્ર લઈ અને આ જ ત્રિજ્યા રાખી bold BY with bold rightwards arrow on top ને B2માં છેદતું એક ચાપ દોરીએ કે જેથી B-B1-B2 થાય. અહીં, પણ BB1 = B1B2 થશે. 

(4) top enclose bold A subscript bold 1 bold B subscript bold 2 end enclose તથા top enclose bold A subscript bold 2 bold B subscript bold 1 end enclose એવાં દોરીએ, કે જેથી તે top enclose bold AB ને અનુક્રમે P તથા Qમાં છેદે. 

આમ, બિંદુઓ P અને Q top enclose bold ABને ત્રણ એકરૂપ ભાગમાં વિભાજીત કરે છે. એટલે કે AP = PQ = QB = bold 1 over bold 3AB. 

આપેલ ત્રિકોણને સમરૂપ આપેલ સ્કેલમાપન પ્રમાણેના ત્રિકોણની રચના કરો. 
સ્કેલમાપન 1 કરતાં વધારે છે એટલે કે આપેલ બાજુવળા ત્રિકોણ કરતાં મોટી બાજુવાળા ત્રિકોણની રચના કરવી છે. 
∆APQની બાજુઓનાં માપથી ગણા માપવાળી અનુરૂપ બાજુઓવાળા સમરૂપ ∆ABCની રચના કરો. 

પક્ષ : ∆APQ આપેલ છે. 

કૃત્ય : ∆ABCઅને ∆APQની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર 4:3 હોય તેવા ∆APQને સમરૂપ ∆ABCની રચના કરીશું. 



રચનાનામુદ્દા : 

(1) top enclose bold APસાથે લઘુકોણ બનાવે તેવી રીતે બિંદુ Qએ bold AP with bold left right arrow on top ના જે અર્ધતલમાં છે તેના વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં bold AX with bold rightwards arrow on top દોર્યું. 

(2) અનુકૂળ ત્રિજ્યા લઈ, Aને કેન્દ્ર લઈ bold AX with bold rightwards arrow on top ને A1માં છેદતું એક ચાપ દોર્યું. આજ પ્રમાણે A1ને કેન્દ્ર લઈ તે જ ત્રિજ્યા રાખી bold AX with bold rightwards arrow on top ને A2માં છેદે તે પ્રમાણે એક બીજું ચાપ દોર્યુ કે જેથી A-A1-A2 થાય. આ જ પ્રમાણે આ રીતે અનુક્રમે Akને કેન્દ્ર લઈ એટલી જ ત્રિજ્યા રાખી bold AX with bold rightwards arrow on top ને Ak+1માં છેદે તેવું ચાપ દોર્યું કે જેથી Ak-1-Ak - Ak+1 થાય; જ્યાં k =2, 3. આમ, આપણને પર ચાર બિંદુઓA1, A2, A3, A4 મળે કે જેથી AA1 = A1A2, = A2A3 = A3A4 થાય.  

(3)top enclose bold A subscript bold 3 bold P end enclose દોર્યો. 

(4) A4માંથી top enclose bold A subscript bold 3 bold P end enclose ને સમાંતર એક કિરણ દોર્યું, જે bold AP with bold rightwards arrow on top ને Bમાં છેદે. 

(5) Bમાંથી top enclose bold PQને સમાંતર એક કિરણ દોર્યું, જે top enclose bold AQને Cમાં છેદે. 

આમ, આપેલ મપ પ્રમાણેનો ∆ABC તૈયાર થયો. 

આપેલ ત્રિકોણને સમરૂપ આપેલ સ્કેલમાપન પ્રમાણેના ત્રિકોણની રચના કરો. 
સ્કેલમપન 1 કરતાં ઓછું છે. એટલે કે એવા ત્રિકોણની રચના કરવી છે કે જેની બાજુઓનાં માપ એ આપેલા ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓનાં માપ કરતાં નાનાં હોય. 

∆ABC રચો કે જેથી બાજુઓનાં માપ તેને સમરૂપ APQની અનુરૂપ બાજુઓનાં માપના bold 2 over bold 5 ગણા હોય. 

પક્ષ : ∆APQ આપેલ છે. 

કૃત્ય : ∆APQની અનુરૂપ બાજુઓનાં માપ કરતાં bold 2 over bold 5 ગણા માપની બાજુઓ હોય તેવા ∆APQને સમરૂપ ∆ABCની રચના કરવી. 


રચનાના મુદ્દા : 

(1) top enclose bold APસાથે લઘુકોણ બનાવે તેવી રીતે બિંદુ Q એ bold AP with bold left right arrow on topના જે અર્ધતલમાં છે તેના વિરુદ્ધ અર્ધતલમાં bold AX with bold left right arrow on top દોર્યું. 

(2) અનુકુળ ત્રિજ્યા લઈ Aને કેન્દ્ર લઈ bold AX with bold rightwards arrow on topને A1માં છેદતું એક ચાપ દોર્યુ. તે જ પ્રમાણે A1ને કેન્દ્ર લઈ અને તેટલી જ ત્રિજ્યા રાખી bold AX with bold rightwards arrow on top ને A2માં છેદતું એક ચાપ એવી રીતે દોર્યુ કે જેથી A-A1-A2 થાય. આ જ પ્રમાણે આ રીતે આગળ વધી, અનુક્રમે Akને કેન્દ્ર લઈ અને તે જ ત્રિજ્યા રાખી bold AX with bold rightwards arrow on top ને Ak+1માં છેદતું ચાપ દોર્યુ કે જેથી Ak-1-Ak-Ak+1 થાય; જ્યાં k = 2, 3, 4.
 
આમ, આપણને bold AX with bold rightwards arrow on top પર પાંચ બિંદુઓ A1, A2, A3, A4, A5 મળે કે જેથી AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 થાય. 

(3) top enclose bold A subscript bold 5 bold P end enclose દોર્યો. 

(4)top enclose bold A subscript bold 5 bold P end enclose ને સમાંતર top enclose bold A subscript bold 2 bold B end enclose દોરી. 

(5) top enclose bold PQને સમાંતર top enclose bold BC દોરી. 

આમ, માગેલાં માપ પ્રમાણેનો ∆ABC તૈયાર થયો. 

bold રચન ા bold space bold 1 bold space bold પ ્ રમ ા ણ ે bold comma bold space bold space fraction numerator bold AA subscript bold 2 over denominator bold A subscript bold 2 bold A subscript bold 5 end fraction bold equals bold space bold 2 over bold 3

bold therefore bold space bold space bold AB over bold AP bold space bold equals bold space bold 2 over bold 3 bold space

bold therefore bold space bold BP over bold AB bold space bold equals bold space bold 3 over bold 2 bold space bold space bold left parenthesis bold ઉલટ bold space bold પ ્ રમ ા ણ bold right parenthesis bold space bold space

bold therefore bold space fraction numerator bold BP bold space bold plus bold space bold AB over denominator bold AB end fraction bold space bold equals bold space fraction numerator bold 3 bold space bold plus bold space bold 2 over denominator bold 2 end fraction bold space bold left parenthesis bold ય ો ગ bold space bold પ ્ રમ ા ણ bold right parenthesis bold space bold space

bold therefore bold space bold AP over bold AB bold space bold equals bold space bold 5 over bold 2 bold space bold left parenthesis bold A bold space bold minus bold space bold B bold space bold minus bold space bold P bold right parenthesis bold space

bold AB over bold AP bold space bold equals bold space bold 2 over bold 5 bold space bold left parenthesis bold ઉલટ bold space bold પ ્ રમ ા ણ bold right parenthesis bold space

bold વળ ી bold comma bold space bold space top enclose bold BC bold space bold parallel to bold space top enclose bold PQ bold. bold space bold ત ે થ ી bold space bold increment bold ABC bold space bold અન ે bold space bold increment bold APQન ી bold space bold સ ં ગતત ા bold space bold ABC bold left right arrow bold APQ bold space bold space bold સમર ૂ પત ા bold space bold છ ે bold. bold space

bold therefore bold AC over bold AQ bold space bold equals bold space bold BC over bold PQ bold space bold equals bold space bold AB over bold AP bold space bold equals bold space bold 2 over bold 5

વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વતુળના સ્પર્શકોની રચના કરો. 
3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું અને O કેન્દ્રવાળું એક વર્તુળ આપેલું છે. OP = 7 સેમી થાય તેવું એક બિંદુ P છે. આ બિંદુ Pમાંથી વર્તુળને સ્પર્શક દોરો. 

પક્ષ : ⊙(0, 3) છે. OP = 7 સેમી થાય તેવું એક બિંદુ P વર્તુળની બહાર આવેલું છે. 

કૃત્ય : Pમાંથી ⊙(O, 3)ને સ્પર્શક દોરવાના છે. 



રચનાના મુદ્દા : 

(1) ⊙(O, 3) દોર્યું અને OP = 7 સેમી થાય તેવું બિંદું P પસંદ કર્યું. 

(2)top enclose bold OP દોર્યો. 

(3) top enclose bold OP નો લંબદ્વિભાજક દોરી, તેનું મધ્યબિંદુ M મેળવ્યું. 

(4) ⊙(O, 3) ને Q અને R માં છેદે તેવું ⊙(M, OM) દોર્યું. 

(5) bold PQ with bold left right arrow on top અને bold PR with bold left right arrow on top દોરી. 

આમ, bold PQ with bold left right arrow on top અને bold PR with bold left right arrow on top માંગેલ સ્પર્શકો છે. 

યથાર્થતા : ∠PQR અને ∠PRO એ ⊙(M, OM)માં અર્ધવર્તુળના ખૂણાઓ છે. 

∴ m∠PQO = 90 અને m∠PRO= 90 

∴ top enclose bold PQ bold space bold space bold perpendicular bold space bold space top enclose bold OQ અને top enclose bold PR bold space bold space bold perpendicular bold space bold space top enclose bold OR

∴ bold PQ with bold left right arrow on top અને bold PR with bold left right arrow on top એ અનુક્રમે Q તથા R બિંદુએ ⊙(O, 3) ના સ્પર્શકો છે.