Chapter Chosen

વર્તુળ

Book Chosen

ગણિત ધોરણ ૧૦

Subject Chosen

ગણિત

Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for
CBSE Gujarat Board Haryana Board

Previous Year Papers

Download the PDF Question Papers Free for off line practice and view the Solutions online.
Currently only available for
Class 10 Class 12
top enclose bold AB એક વર્તુળનો વ્યાસ છે. સાબિત કરો કે, A અને B બિંદુએ વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર સમાંતર છે. 

ધારો કે, top enclose bold AB એ O કેન્દ્રિત વર્તુળનો વ્યાસ છે. l1ને l2 આ વર્તુળના અનુક્રમે A અને B બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકો છે. તેથી l1 અને l2 એ વર્તુળના સમતલમાં દોરેલી રેખાઓ છે. 



l1 અને l2 એ વર્તુળના સમતલમાં દોરેલી રેખાઓ છે અને bold AB with bold left right arrow on topઆ રેખાઓની છેદિકા છે. 
ધારો કે, l1 અને T કોઈ બિંદુ છે T # A. 

ધારો કે, l2 પર R એ B સિવાયનુંં કોઈ બિંદુ છે, જેથી T અને R એ bold AB with bold left right arrow on top ના ભિન્ન અર્ધતલોમાં હોય, l1 અને l2 એ O કેન્દ્રીય વર્તુળોનાં સ્પર્શકો છે અને તેમનાં સ્પર્શબિંદુઓ અનુક્રમે A અને B છે. તેથી L1bold perpendicular bold space top enclose bold OA અને L2 bold perpendicular bold space top enclose bold OB
હવે, top enclose bold ABવર્તુળનો વ્યાસ છે. 
A - O - B 

l1bold perpendicular bold space top enclose bold AB અને bold l subscript bold 2 bold space bold perpendicular bold space top enclose bold AB

∠TAB ≅ ∠RBA 

પરંતુ આ તો l1 અને l2ની છેદિકા bold AB with bold left right arrow on top દ્વારા બનતા યુગ્મકોણો છે. 

l1║ l2 

A અને B એક વર્તુળ પરનાં બે ભિન્ન બિંદુઓ છે, જેથી top enclose bold AB વ્યાસ નથી. A અને B બિંદુએ વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકો P બિંદુમાં છેદે છે. સાબિત કરો કે, AOB અને APB એકબીજાના પૂરકકોણો છે. ઉપરાંત સાબિત કરો કે, PA = PB. 

વર્તુળનો વ્યાસ નથી. વર્તુળ પરના બિંદુ A અને B આગળ દોરેલા સ્પર્શકો સમાંતર નથી. 

આ સ્પર્શકો કોઈક બિંદુ P માં છેદે છે. 


ઉપરાંત, top enclose bold OA bold space bold perpendicular bold space top enclose bold AP bold comma bold space bold space top enclose bold OB bold space bold perpendicular bold space top enclose bold BP



∴ □OPABમાં, m∠A + m∠B = 90 + 90 = 180 ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાનાં માપનો સરવાળો 360 થાય. 


∴ m∠AOB અને ∠APB એકબીજાના પૂરકખૂણાઓ છે. 


∴ ∆OAP અને ∆OBPમાં સંગતતા OAPbold left right arrowOBP માટે, 



top enclose bold OP bold space bold approximately equal to bold space top enclose bold OP

top enclose bold OA bold space bold approximately equal to bold space top enclose bold OB bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold left parenthesis bold because bold વર ્ ત ુ ળન ી bold space bold ત ્ ર િ જ ્ ય ા ઓ bold right parenthesis

bold OAP bold approximately equal to bold OBP bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold left parenthesis bold because bold બ ં ન ે bold space bold ક ા ટખ ૂ ણ ા bold space bold છ ે bold right parenthesis bold space bold space

bold increment bold OAP bold space bold approximately equal to bold space bold space bold increment bold OAP bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold left parenthesis bold because bold કકબ ા bold right parenthesis

top enclose bold PA bold space bold space bold space bold approximately equal to bold space top enclose bold PB

bold PA bold space bold equals bold space bold PB

bold circled dot(O, r1) અને ⊙(O, r2) બે સમકેન્દ્રીદ્રી વર્તુળો છે, જેમાં r1 > r2. ⊙(O, r2) ની જીવા top enclose top enclose bold AB end enclose એ ⊙ (O, r2) ને P બિંદુએ સ્પર્શે છે. સાબિત કરો કે, P એ top enclose bold ABનું મધ્યબિંદુ છે. 



⊙(o, r1)ની જીવા top enclose bold AB છે. 

⊙(O, r2) ને top enclose bold AB એ P બિંદુએ સ્પર્શે છે. 

top enclose bold OP bold space bold perpendicular bold space top enclose bold AB

⊙(O, r1)ના કેન્દ્ર O માંથી જીવા પરના top enclose bold AB લંબનો લંબપાદ P છે. 

P એ જીવા top enclose bold AB નું મધ્ય બિંદુ છે. 

વર્તુળના કેન્દ્ર Oમાંથી પસાર થતી એક રેખા વર્તુળના એક સ્પર્શકને Qબિંદુમાં છેદે છે. સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ P છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા 5 હોય અને OQ = 13 હોય, તો PQ શોધો. 



O વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ P છે. 

∴ OP = વર્તુળની ત્રિજ્યા 

∴ OP = 5, OQ = 13 

અને ∠OPQ કાટ્ખૂણો છે, કારણ કે સ્પર્શકના સ્પર્શબિંદુએ દોરેલી ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોય. 

∴ ∆OPQ માં, OP2 + PQ2 = OQ2 

∴ 52 + PQ2 = 132 

∴ PQ2 = 132 - 52 

= 169 - 25 = 144 

∴ PQ = 12

બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ 26 અને 24 છે. મોટી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની જીવા નાની ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને સ્પર્શે છે. આજીવાની લંબાઈ શોધો. 

ધારો કે, આપેલાં સમકેન્દ્રી વર્તુળોનું કેન્દ્ર O છે. ધારો કે, મોટી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની જીવા એ નાની ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને P બિંદુએ સ્પર્શે છે. 

∴ OP = નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા = 24 

∴ OA = મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા = 26 

top enclose bold AB એ ⊙(O, 24) ને P બિંદુએ સ્પર્શે છે. તેથી top enclose bold AB bold space bold perpendicular bold space top enclose bold OP



∆OPA કાટકોણ ત્રિકોણ છે. જેમાંં, m∠OAP = 90. 

∴ OP2 + AP2 = OA2 

∴ 242 + AP2 = 262

∴ AP2 = 262 - 242 

= 676 - 576 

= 100 

∴ AP = 10 

∴ વર્તુળના કેન્દ્ર Oમાંથી top enclose bold OP bold space bold perpendicular bold space top enclose bold AB છે અને top enclose AB  એ ⊙(O, 26)ની જીવા છે. 

∴ P એ top enclose bold AB નું મધ્યબિંદુ છે. 

∴ માંગેલી જીવાની લંબાઈ, AB = 2AP = 20