Chapter Chosen

સમરૂપતા અને પાયથાગોરસ પ્રમેય

Book Chosen

ગણિત ધોરણ ૧૦

Subject Chosen

ગણિત

Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for
CBSE Gujarat Board Haryana Board

Previous Year Papers

Download the PDF Question Papers Free for off line practice and view the Solutions online.
Currently only available for
Class 10 Class 12
∆PQR માં m∠Q = 90 અને top enclose bold QM એક વેધ છે અને M bold not an element of bold space top enclose bold PR . જો QM = 12, PR = 26, તો PM  અને RM શોધો. જો PM < RM, તો Pq અને QR શોધો. 



∆PQRમાં m∠Q = 90 અને top enclose bold QMવેધ છે. 

∴ P - M - R, QM2 = PM MR 

ધારો કે, PM = x 

∴ RM = PR - PM = 26 - x 

હવે, QM2 + PM RM 

∴ 122 = x(26 - x) 

∴ 144 = 26x - x2 

∴ x2 - 26x + 144 = 0 

∴ (x - 8)(x - 18) = 0 

∴ x = 8 અથવા x = 18 

આથી PM = 8 અથવા PM = 18 

RM = 26 - 8 = 18 અથવા RM = 26 - 18 = 8 

આમ, PM = 8 અને RM = 18 અથવા 

PM = 18 અને RM = 8 

PM < RM હોય, તો PM = 8 અને RM = 18 

PQ2 = PM PR = 8 × 26 = 16 × 13 

∴ PQ = 4square root of bold 13
QR2 = RM PR = 18 × 26 = 36 × 13 

∴ QR = 6 square root of bold 13

∆ABCમાં m∠B = 90, top enclose bold BM bold space bold perpendicular bold space top enclose bold AC bold comma bold space bold M bold space bold element of bold space top enclose bold AC bold. જો AM = x, BM = y તો AB, BC અને CM ને x અને y ના સ્વરૂપમાં મેળવો.  (x > 0, y > o)



ABC માં m∠B = 90 

∴ BM2 = AM•CM. 

AB2 = AM•AC અને 

BC2 = CM•AC 

BM2 = AM•CM 

∴ y2 = x•CM 

∴ CM = bold y to the power of bold 2 over bold x

AC = AM + CM 

bold equals bold space bold x bold space bold plus bold space bold y to the power of bold 2 over bold x

bold AC bold space bold equals bold space fraction numerator bold x to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold y to the power of bold 2 over denominator bold x end fraction

bold AB to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold AM bold times bold AC

bold equals bold space bold x bold times bold space fraction numerator bold x to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold y to the power of bold 2 over denominator bold x end fraction

bold AB bold space bold equals bold space square root of bold x to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold y to the power of bold 2 bold space end root bold space

bold BC to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold CM bold times bold AC bold space

bold equals bold y to the power of bold 2 over bold x to the power of bold 2 bold times fraction numerator bold x to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold y to the power of bold 2 over denominator bold x end fraction

bold equals bold space bold y to the power of bold 2 over bold x to the power of bold 2 bold times bold left parenthesis bold x to the power of bold 2 bold space end exponent bold plus bold space bold y to the power of bold 2 bold right parenthesis bold space

bold equals bold space bold BC bold space bold equals bold space bold y over bold x square root of bold x to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold y to the power of bold 2 bold space end root



નીચે ∆ABC ની બાજુઓ top enclose bold AB bold comma bold space top enclose bold BC bold comma bold space top enclose bold AC નાં માપ આપેલ છે, કયો કાટકોણ ત્રિકોણ છે તે નક્કી કરો. જો કાટકોણ હોય, તો કયો ખૂણો કાટકોણ છે તે જણાવો. 
AB = 25, BC = 7, AC = 24 

∆ABC માં સૌથી મોટી બાજુ top enclose bold AB છે. 
AB2 = 252 = 625 

BC2 + AC2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625 

આમ, BC2 + AC2 = AB

ABC કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેમાં top enclose bold AB કર્ણ છે અને ∠C કાટકોણ છે. 

PQRમાં ∠Q કાટકોણ છે. જો PR - PQ = 9 અને PR - QR = 18, તો, ∆PQRની પરિમિતિ શોધો. 




PR - PQ = 9 અને PR - QR = 18 

∴ PQ = PR - 9 અને QR = PR - 18 PQRમાં Q કાટકોણ છે. 

∴PQ2 + QR2 = PR2 

∴ (PR - 9)2 + (PR - 18)2 = PR2 

∴PR2 - 18PR + 81 + PR2 - 36PR + 324 = PR2 

∴2PR2 - 54PR + 405 - PR2 = 0 

∴ PR2 - 54PR + 405 = 0 

∴ (PR - 45) (PR - 9) = 0 

∴PR = 45 અથવા PR = 9 

પરંતુ PR = 9 શક્ય નથી, કારણ કે PR = 9 માટેPQ = 0 અને QR = - 9 થાય.

∴PR = 45 

∴ PQ = PR - 9 = 45 - 9 = 36 

∴QR = PR - 18 = 45 - 18 = 27 

PQRની પરિમિતિ = PQ + QR + PR 

                     = 36 + 27 + 45 = 108

કાટકોણ ∆PQRમાં ∠P કાટકોણ છે અને top enclose bold PMકર્ણ પરનો વેધ છે. જો PQ = 8, PR = 6, તો PM શોધો. 



∆PQRમાં ∠P કાટકોણ છે અને કર્ણ પરનો top enclose bold PM વેધ છે. 
∴ QR2 = PQ2 + PR2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 

∴QR = 10 

PQ2 = QM•QR 

∴82 = QM•10 

∴64 = 10 QM 

∴QM = 6.4 

RM - QR - QM                (∵ Q - M - R) 

= 10 - 6.4. 

∴ RM = 3.6 

હવે, PM2 = QM•RM = 6.4×3.6 = fraction numerator bold 64 bold cross times bold 36 over denominator bold 100 end fraction

∴PM =fraction numerator bold 8 bold cross times bold 6 over denominator bold 10 end fraction

∴PM = 4.8 

નોંધ QR = 10 શોધ્યા બાદ 

 bold PQRન ું bold space bold ક ્ ષ ે ત ્ રફળ bold space bold space bold equals bold 1 over bold 2 bold cross times bold space bold PQ bold cross times bold PR

bold equals bold 1 over bold 2 bold cross times bold QR bold cross times bold PMન ા bold space bold ઉપય ો ગથ ી

PM સરળતાથી શોધી શકાય. 

વળી, પરિણામ bold 1 over bold PM to the power of bold 2 bold equals bold 1 over bold PQ to the power of bold 2 bold plus bold 1 over bold PR to the power of bold 2 ના ઉપયોગથી પણ શોધી શકાય.