Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for
CBSE Gujarat Board Haryana Board

Previous Year Papers

Download the PDF Question Papers Free for off line practice and view the Solutions online.
Currently only available for
Class 10 Class 12

ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

$bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold 2 to the power of bold 2 to the power of bold 2 end exponent$ નો એકમનો અંક ....... છે. n > 1

જો $bold a subscript bold n bold space bold equals bold space square root of bold 7 bold plus square root of bold 7 bold plus square root of bold 7 bold plus bold. bold. bold. end root end root bold space bold n$ વખત તો ગણિતીય અનુમાનના સિદ્વાંત પરથી કયું સત્ય છે?

a_n > 7, n ≥ 1
a_n > 3, n ≥ 1
a_n < 4, n ≥ 1
a_n < 3, n ≥ 1

વિધાન p(n) : 3²ⁿ⁺¹+2^n-1એ n ∈ N .......... ના ગુણકમાં છે.

Tips: -

n = 1 લેતાં, 3³ + 2⁰ = 28 જે 7 અને 2 ના ગુણકમાં છે.

n = 2 લેતાં, 3⁵ + 2¹ = 245 = 7 × 35 જે 7 ના ગુણકમાં છે. પણ 2 ના ગુણકમાં નથી.

∴ p(n) : 3²ⁿ⁺¹ + 2^n-1 એ n ∈ N, 7 ના ગુણકમાં છે તેવું અનુમાન કરી શકાય.

ધારો કે p(k) : 3²ⁿ⁺¹ + 2^k-1 એ 7 ના ગુણકમાં છે. (k ∈ N) સત્ય છે.

∴ 3^{2k + 1} 2^k-1 = 7m m∈ N ... (1)

n = k + 1 માટે 3^2k+3 2^k = 9 $times$ 3^2k+1 + 2^k

$bold equals bold space bold 9 bold space bold left parenthesis bold 7 bold m bold space bold minus bold space bold 2 to the power of bold k bold space bold minus bold 1 end exponent bold right parenthesis bold space bold plus bold space bold 2 to the power of bold k bold space bold space bold space bold space bold left parenthesis bold because bold space bold 1 bold right parenthesis bold equals bold space bold 63 bold m bold space bold minus bold space bold 9 bold times bold 2 to the power of bold k bold minus bold 1 end exponent bold space bold plus bold space bold 2 to the power of bold k bold equals bold space bold 63 bold m bold space bold minus bold space bold 2 to the power of bold k bold minus bold 1 end exponent bold space bold left parenthesis bold 9 bold minus bold 2 bold right parenthesis$

$bold equals bold space bold 7 bold space bold left parenthesis bold 9 bold m bold space bold minus bold space bold 2 to the power of bold k bold minus bold 1 end exponent bold right parenthesis$ એ 7ના ગુણકમાં છે.
∴ p(k) સત્ય છે ⇒ p(k+1) સત્ય છે.

p(2) પરથી A, D સત્ય નથી. p(1) પરથી B સત્ય નથી.

∴ વિકલ્પ C સત્ય છે.

∴ ગણિતીય અનુમાનના સિદ્વાંત પરથી p(n) n ∈ N સત્ય છે.

વિધાન p(n) : n²≥ 3n ........ સત્ય છે.

n ∈ N
n ∈ N, n > 1
n ∈ N, n ≥ 3
દરેક અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા

વિધાન $bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold n to the power of bold 3 over bold 3 to the power of bold n bold space bold less than bold space bold n bold factorial bold space bold less than bold space bold n to the power of bold n over bold 2 to the power of bold n$ દરેક n ≥ k, n ∈ N માટે સત્ય છે, તો k = .......... .

Switch

Chapter Chosen

Book Chosen

Subject Chosen

Book Store

Previous Year Papers

ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

Switch