We know that:
                                                      ...(i)

                                                      ...(ii)

                                                                             ....(iii)

                                                                              ...(iv)

(a) Replacing x by x + y, in (iii), we get

                                                              ...(v)

Also,  

                                                                                                      [By using (ii)]

                                 = sinx cosy + cosx siny                   [By using (iii) and (iv)]

Hence,             sin(x+y) = sinx cosy + cosx siny

(b) Replacing y by - y in (v), we get
         sin(x-y) = sinx cos(-y) + cosx sin(-y)
                      = sinx cosy - cosx siny         [∵ cos(-y) = cosy, sin(-y) = - siny]
Hence,   sin(x-y) = sinx cosy - cosx siny