યુક્લિડની ભાગવિધિ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

અહીં, n ધન યુગ્મ પૂર્નાંક હોવાથી, કોઈક m  N માટે  n  = 2m થશે.



જો m = 1 તો m(m  + 1)(2m + 1)

                  


                    જે 6 વડે વિભાજ્ય છે.

એ 6 વડે વિભાજ્ય છે.

 એ 6 વડે વિભાજ્ય છે.

 એ 24 વડે વિભાજ્ય છે.

                                               [ પરિણામ (1) પરથી ]

જો m = 2 તો m(m + 1) (2m + 1)

       
 
        જે વડે 6 વિભાજ્ય છે.

 એ 6 વડે વિભાજ્ય છે.

 એ 24 વડે વિભાજ્ય છે.

 એ 24 વડે વિભાજ્ય છે.

                                            [  પરિણામ (1) પરથી ]

હવે ધારો કે  

m અથવા m +  1  માંથી એક યુગ્મ છે, કારણ કે તે બે ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે.

 એ હંમેશાં 2 વડે વિભાજ્ય છે.


વળી,  એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી કોઈક  માટે,
m = 3k અથવા m = 3k + 1  અથવા m = 3k + 2 થાય.

વિકલ્પ 1 :

m = 3k માટે,

m(m + 1) (2m + 1)

= 3k(3k + 1) (2(3k) + 1)

= 3[k(3k + 1) (6k + 1)],

                                      જે 3 વડે વિભાજ્ય છે.

વિકલ્પ 2 :

m = 3k + 1 માટે,

m(m + 1) (2m + 1)

= (3k + 1) ((3k + 1) + 1) (2(3k + 1) + 1)

=  (3k + 1)(3k+ 2)(6k + 3)

= 3[(3k + 1) (3k + 2)(2k+ 1)],

                                        જે 3 વડે વિભાજ્ય છે.
વિકલ્પ 3 :

m = 3k + 2 માટે,

m(m +1)(2m + 1)

= (3k + 2) (3k + 2) + 1) (2 ( 3k + 2) + 1)

= (3k + 2) (3k +3) (6k + 5)

=3[(3k + 2) (k + 1) (6k + 5)],

                                      જે 3 વડે વિભાજ્ય છે.
આમ, કોઈ પણ વિકલ્પમાં m(m + 1) (2m + 1) એ3 વડે વિભાજ્ય છે. ઉપરાંત m(m + 1)(2m + 1) તો 2 વડે વિભાજ્ય છે જ.

વળી, 2 અને 3 પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી

m(m + 1) (2m + 1) એ 2 × 3 = 6 વડે વિભાજ્ય છે.

4m(m + 1)(2m + 1) એ 24 વડે વિભાજ્ય છે.

n(n + 1) (n +2) એ 24 વડે વિભાજ્ય છે.

                                                      [પરિણામ (1) પરથી ]