Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for
CBSE Gujarat Board Haryana Board

Previous Year Papers

Download the PDF Question Papers Free for off line practice and view the Solutions online.
Currently only available for
Class 10 Class 12

યુક્લિડની ભાગવિધિ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

સાબિત કરો કે, n ધન યુગ્મ પૂર્ણાંક હોય, તો (n(n + 1) (n +2) એ 24 વડે વિભાજ્ય છે.

સાબિત કરો કે, 2a + 3b અને 9a + 5b માથી કોઈ એક 17 વડે વિભાજ્ય હોય તો બીજી અભિવ્યક્તિ પણ 17 વડે વિભાજ્ય છે; a, b $bold element of$ N.
(સુચન 4(2a + 3b) + 9a + 5b = 17a + 17b)

સાબિત કરો કે, પ્રત્યેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાને 5 k અથવા

bold 5 bold k bold space bold plus-or-minus bold space bold 1

અથવા

bold 5 bold k bold space bold plus-or-minus bold space bold 2 bold comma bold space bold space bold space bold k bold space bold element of bold n bold space bold union bold left curly bracket bold space bold 0 bold space bold right curly bracket

સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.

સાબિત કરો કે, એ n⁴ + 4n² +11 એ 16 વડે વિભાજ્ય છે, જ્યાં n એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.

સાબિત કરો કે, 6 અને પૂર્ણાંક n માં કોઈ સામાન્ય અવયવ ન હોય, તો n² - 1 એ 6 વડે વિભાજ્ય છે.

અહીં, $bold 6 bold space bold equals bold space bold 3 bold space bold cross times bold space bold 2$ અને પૂર્ણાંક n માં કોઈ સામાન્ય અવયવ નથી.

$therefore$ n એ 3 અને 2 પૈકી એક પણ વડે વિભાજ્ય નથી.

હવે, પૂર્ણાંક n એ 2 વડે વિભાજ્ય નથી.

$bold therefore bold space bold n bold space bold equals bold space bold 2 bold m bold space bold plus bold space bold 1 bold space$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય; જ્યાં, $bold m bold space bold element of bold space bold Z bold.$

$bold therefore bold space bold n to the power of bold 2 bold space bold minus bold space bold 1 bold space bold equals bold space bold left parenthesis bold 2 bold m bold space bold plus bold space bold 1 bold right parenthesis to the power of bold 2 bold space bold minus bold space bold 1 bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold equals bold space bold 4 bold m to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 4 bold m bold space bold plus bold 1 bold space bold minus bold space bold 1$

$bold equals bold space bold 4 bold m to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 4 bold m bold equals bold space bold 2 bold left parenthesis bold 2 bold m to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 2 bold m bold right parenthesis bold comma bold space$
જે 2 વડે વિભાજ્ય છે. ... (1)

તથા પુર્ણાંક n એ 3 વડે વિભાજ્ય નથી.

$bold therefore bold space bold n bold space bold equals bold space bold 3 bold m bold space bold plus-or-minus bold space bold 1 bold space$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય; જ્યાં, $bold m bold space bold element of bold space bold Z bold.$

$bold therefore bold space bold n to the power of bold 2 bold space bold minus bold space bold 1 bold space bold equals bold space bold left parenthesis bold 3 bold m bold space bold plus-or-minus bold space bold 1 bold right parenthesis to the power of bold 2 bold space bold minus bold space bold 1$

$bold equals bold space bold 9 bold m to the power of bold 2 bold space bold plus-or-minus bold space bold 6 bold m bold space bold plus bold space bold 1 bold space bold minus bold space bold 1 bold equals bold space bold 3 bold left parenthesis bold 3 bold m to the power of bold 2 bold space bold plus-or-minus bold space bold 2 bold m bold right parenthesis bold comma bold space$
જે, 3 વડે વિભાજ્ય છે. .... (2)

પરિણામ (1) અને (2) પરથી તથા 2 અને 3 પરસ્પર અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી n² - 1 એ $bold 2 bold space bold cross times bold space bold 3 bold space bold equals bold space bold 6$ વડે વિભાજ્ય છે.

Switch

Chapter Chosen

Book Chosen

Subject Chosen

Book Store

Previous Year Papers

યુક્લિડની ભાગવિધિ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ

Switch