$$\begin{gathered} \mathrm{Let} \mathrm{I} = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \left(\frac{\sin 4\mathrm{x} - 4}{1 - \cos 4\mathrm{x}}\right) \mathrm{dx} \\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \left(\frac{\sin 2\left(2\mathrm{x}\right) - 4}{1 - \cos 2\left(2\mathrm{x}\right)}\right) \mathrm{dx} \\ = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \left(\frac{2 \sin 2\mathrm{x} \cos 2\mathrm{x}- 4}{2{\sin }^2\left(2\mathrm{x}\right)}\right) \mathrm{dx} [ \mathrm{Using}, \sin 2\mathrm{x} = 2\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx} \mathrm{and} 2{\sin }^2\mathrm{x} = 1 - \cos ( 2\mathrm{x} ) ] \\ = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \left(\frac{2 ( \sin (2\mathrm{x} ) \cos ( 2\mathrm{x} ) - 2 )}{2{\sin }^2\left(2\mathrm{x}\right)}\right) \mathrm{dx} \\ = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \left(\frac{ \sin (2\mathrm{x} ) \cos ( 2\mathrm{x} )}{{\sin }^2\left(2\mathrm{x}\right)} - \frac{2}{{\sin }^2\left(2\mathrm{x}\right)}\right) \mathrm{dx} \\ = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \left( \cot (2\mathrm{x} ) -2{\mathrm{cosec}}^2\left(2\mathrm{x}\right) \right) \mathrm{dx} \\ \mathrm{Now}, \mathrm{let} \mathrm{f} ( \mathrm{x} ) = \cot ( 2\mathrm{x} ) \mathrm{then} \mathrm{f} ( \mathrm{x} ) = -2{\mathrm{cosec}}^2 ( 2\mathrm{x} ) \\ \mathrm{I} = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \left( \mathrm{f} ( \mathrm{x} ) + \mathrm{f}\text{'} ( \mathrm{x} ) \right) \mathrm{dx} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{So}, \mathrm{I} = {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \mathrm{f} ( \mathrm{x} ) + \mathrm{C} \\ = {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \cot ( 2\mathrm{x} ) + \mathrm{C}, \mathrm{Where} \mathrm{C} \mathrm{is} \mathrm{a} \mathrm{constant} \\ \mathrm{therefore}, \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \left( \frac{\sin 4\mathrm{x} - 4}{1 - \cos 4\mathrm{x}} \right) \mathrm{dx} = {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} \cot ( 2\mathrm{x} ) + \mathrm{C} \end{gathered}$$