વિધાન p(n) : 32n+1+2n-1 એ  n ∈ N .......... ના ગુણકમાં છે. from Mathematics ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for.
CBSE

Subject

Mathematics
Advertisement
zigya logo

Gujarati JEE Mathematics : ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

Multiple Choice Questions

1. અસમતા 3n < (n + 1 ) !, n ∈ N એ ...... . 
  • n = 4 માટે સત્ય નથી.

  • દરેક n ≥4 માટે સત્ય છે. 
  • n = 13 માટે સત્ય નથી. 
  • દરેક n>21 માટે સત્ય છે. 

2. મહત્તમ ધન પૂર્ણાંક ...... વડે (n + 1) (n + 2) (n + 3) .... (n + r) ને નિ:શેષ ભાગી શકાય.  n ∈ N
  • r !

  • n!

  • n+r+1

  • (n+r)!


3. જો bold sum from bold r bold equals bold 1 to bold k of bold r bold space bold equals bold space bold 1 over bold 2 bold space bold left parenthesis bold n to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 11 bold n bold space bold plus bold space bold 30 bold right parenthesis તો  k =- ....... . 
  • n + 6 

  • n + 7

  • n + 5

  • n + 4


Advertisement
4. વિધાન p(n) : 32n+1+2n-1 એ  n ∈ N .......... ના ગુણકમાં છે.
  • 4

  • 7

  • 5

  • 2


B.

7

Tips: -

n = 1 લેતાં, 33 + 20 = 28 જે 7 અને 2 ના ગુણકમાં છે.

n = 2 લેતાં, 35 + 21 = 245 = 7 × 35 જે 7 ના ગુણકમાં છે. પણ 2 ના ગુણકમાં નથી.

∴ p(n) : 32n+1 + 2n-1 એ  n ∈ N, 7 ના ગુણકમાં છે તેવું અનુમાન કરી શકાય. 

ધારો કે p(k) : 32n+1 + 2k-1  એ 7 ના ગુણકમાં છે. (k ∈ N) સત્ય છે. 

∴ 32k + 1 2k-1 = 7m m∈ N                     ... (1) 

n = k + 1 માટે 32k+3 2k = 9times32k+1 + 2k

                                    bold equals bold space bold 9 bold space bold left parenthesis bold 7 bold m bold space bold minus bold space bold 2 to the power of bold k bold space bold minus bold 1 end exponent bold right parenthesis bold space bold plus bold space bold 2 to the power of bold k bold space bold space bold space bold space bold left parenthesis bold because bold space bold 1 bold right parenthesis

bold equals bold space bold 63 bold m bold space bold minus bold space bold 9 bold times bold 2 to the power of bold k bold minus bold 1 end exponent bold space bold plus bold space bold 2 to the power of bold k

bold equals bold space bold 63 bold m bold space bold minus bold space bold 2 to the power of bold k bold minus bold 1 end exponent bold space bold left parenthesis bold 9 bold minus bold 2 bold right parenthesis

                                     bold equals bold space bold 7 bold space bold left parenthesis bold 9 bold m bold space bold minus bold space bold 2 to the power of bold k bold minus bold 1 end exponent bold right parenthesis એ 7ના ગુણકમાં છે. 
∴ p(k) સત્ય છે ⇒ p(k+1) સત્ય છે.
 
p(2) પરથી A, D સત્ય નથી. p(1) પરથી B સત્ય નથી. 

∴ વિકલ્પ C સત્ય છે. 

∴ ગણિતીય અનુમાનના સિદ્વાંત પરથી p(n)  n ∈ N સત્ય છે.

Advertisement
Advertisement
5. જો 13 + 23 + 33 + ... + 503 = m2, તો m = ........... . 
  • 1275

  • 1225

  • 2450

  • 1375


6. bold n bold factorial bold space bold less than bold space open square brackets fraction numerator bold n bold plus bold 1 over denominator bold 2 end fraction close square brackets to the power of bold n નું પાલન થાય તેવો નાનામાં નાનો ધનપૂર્ણાંક ........ છે. જ્યાં [] મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.
  • 6

  • 3

  • 4

  • 2


7. વિધાન p(n) : n≥ 3n ........ સત્ય છે. 
  • n ∈ N
  •  n ∈ N, n > 1
  •  n ∈ N, n ≥ 3
  • દરેક અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા

8. વિધાન p(n) : 8n ≤ 2n - 16 દરેક n >  ....... n ∈ N માટે સત્ય છે. 
  • 1

  • 4

  • 2

  • 5


Advertisement
9. bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold 2 to the power of bold 2 to the power of bold 2 end exponent નો એકમનો અંક ....... છે. n > 1 
  • 0

  • 4

  • 6

  • 2


10. વિધાન bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold n to the power of bold 3 over bold 3 to the power of bold n bold space bold less than bold space bold n bold factorial bold space bold less than bold space bold n to the power of bold n over bold 2 to the power of bold n દરેક n ≥ k, n ∈ N માટે સત્ય છે, તો k = .......... .  
  • 6

  • 5

  • 4

  • 3


Advertisement

Switch