Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for
CBSE Gujarat Board Haryana Board

Previous Year Papers

Download the PDF Question Papers Free for off line practice and view the Solutions online.
Currently only available for
Class 10 Class 12

ત્રિકોણની સમરૂપતા

નીચેની આકૃતિઓમાં બતાવેલા ત્રિકોણો સમરૂપ છે કે નહિ તે ચકાસો.

□ABCDમાં $bold P bold space bold element of bold space top enclose bold AB bold space bold comma bold space bold Q bold space bold element of bold space top enclose bold BC bold space bold comma bold space bold R bold space bold element of bold space top enclose bold CD bold space bold અન ે bold space bold S bold space bold element of bold space top enclose bold DA$ એવા બિંદુઓ છે કે જેથી $bold AB over bold PB bold equals bold space bold CR over bold RD bold અન ે bold space bold CQ over bold QB bold space bold equals bold space bold CR over bold RD$ સાબિત કરો કે, $top enclose bold PR bold space bold parallel to bold space top enclose bold QR$ .

∆ABCમાં $bold D bold space bold element of bold space top enclose bold BC$ અને B-D-C, ∠ADB અને ∠ADCના દ્વિભાજકો અને ને અનુક્રમે P અને Q માં છેદે છે. સાબિત કરો કે,

AP×AQ×BD×DC=AD²×PB×QC

આ પરથી સાબિત કરો કે, જો $bold PQ with bold left right arrow on top bold space bold parallel to bold space bold BC with bold left right arrow on top$ હોય, તો D એ $top enclose bold BC$ નું મધ્યબિંદુ થાય.

પક્ષ : ∆ABC માં $bold D bold space bold element of bold space top enclose bold BC$ અને B-D-C. ADB અને ADCના દ્વિભાજકો $top enclose bold AB bold space bold અન ે bold space top enclose bold AC$ ને અનુક્રમે P અને Qમાં છેદે છે.

સાધ્ય :(1) AP×AQ×BD×DC=AD²×PB×QC
(2) જો $bold PQ with bold left right arrow on top bold space bold parallel to bold space bold BC with bold left right arrow on top$ હોય તો D એ નું મધ્યબિંદુ છે.

સાબિતી : ∆ABDમાં ∠D નો દ્વિભાજક $top enclose bold AB$ ને Pમાં છેદે છે.

$bold therefore bold space bold AP over bold PB bold space bold equals bold space bold AD over bold BD bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold. bold. bold left parenthesis bold 1 bold right parenthesis$

∆ACDમાં ∠D નો દ્વિભાજક $top enclose bold AC$ ને Qમાં છેદે છે.

$bold AQ over bold QC bold equals bold space bold AD over bold DC bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold. bold. bold. bold. bold left parenthesis bold 2 bold right parenthesis$

પરિણામ (1) અને (2) નો ગુણાકાર લેતા,

$bold AP over bold PB bold cross times bold AQ over bold QC bold cross times bold AD over bold BD bold cross times bold AD over bold DC$

∴ AP×AQ×BD×DC=AD²×PB×QC [સાધ્ય (1)]

∆ABCમાં A-P-B, A-Q-C અને જો $bold PQ with bold left right arrow on top bold space bold parallel to bold space bold BC with bold left right arrow on top$ હોય, તો

$bold AP over bold PB bold space bold equals bold space bold AQ over bold QC bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold space bold. bold. bold. bold left parenthesis bold 3 bold right parenthesis$

પરિણામ (1), (2) અને (3) પરથી

$bold AD over bold BD bold space bold equals bold space bold AD over bold DC$

∴ BD = DC

હવે, BD = DC અને B-D-C

∴ D એ $top enclose bold BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. [સાધ્ય (2)]