Chapter Chosen

દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ-યુગ્મ

Book Chosen

ગણિત ધોરણ ૧૦

Subject Chosen

ગણિત

Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for
CBSE Gujarat Board Haryana Board

Previous Year Papers

Download the PDF Question Papers Free for off line practice and view the Solutions online.
Currently only available for
Class 10 Class 12
નીચેના દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ આલેખની રીતે મેળવો.
x + 2y = 5 અને 3x + 5y = 13 

x + 2y = 5 

∴ 2y = 5 - x   ∴y = fraction numerator bold 5 bold minus bold x over denominator bold 2 end fraction


x = 5 માટે y = fraction numerator bold 5 bold minus bold 2 over denominator bold 2 end fraction bold equals bold 0 over bold 2 bold space bold equals bold 0


x = 1 માટે  y = fraction numerator bold 5 bold minus bold 1 over denominator bold 2 end fraction bold equals bold 4 over bold 2 bold equals bold 2



∴ આલેખમાં x + 2y = 5ના ઉકેલગણના બે ઘટકોની ક્રમયુક્ત જોડ (5, 0) અને (1, 2)નું નિરૂપણ કરીએ અને તેમને જોડીને રેખા બનાવીએ. 


3x + 5y = 13 


∴ 5y = 13 - 3x   ∴y = fraction numerator bold 13 bold space bold minus bold 3 bold x over denominator bold 5 end fraction


x = 1 માટે y = fraction numerator bold 13 bold space bold minus bold space bold 3 bold left parenthesis bold 1 bold right parenthesis over denominator bold 5 end fraction bold equals bold 10 over bold 5 bold equals bold space bold 2


x = 6 માટે y = fraction numerator bold 13 bold minus bold 3 bold left parenthesis bold 6 bold right parenthesis over denominator bold 5 end fraction bold equals fraction numerator bold minus bold 5 over denominator bold 5 end fraction bold equals bold minus bold 1




∴ આલેખપત્રમાં 3x + y5 =13ના ઉકેલગણના બે ઘટકોની ક્રમયુક્ત જોડ (1, 2) અને (6, -1)નું નિરૂપણ કરીએ અને તેમને જોડીને રેખા બનાવીએ. 




આ રીતે મળતી રેખાઓનું છેદબિંદુ (સામાન્ય બિંદુ) (1, 2) છે અને તે બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે. 

આમ, આપેલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ (1,2) છે. 

આલેખની રીતે નીચે આપેલા દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણની જોડનો ઉકેલ મેળવો : 
x + y = 7 અને 3x + 3y = 21 

અહીં, સમીકરણ 3x + 3y = 21 ના દરેક પદને 3 વડે ભાગતાં x + y = 7 મળે છે. 

આમ, આપેલી સમીકરણોની જોડનાં બંને સમીકરણો સમાન છે. 


બંને સમીકરણના આલેખોથી મળતી રેખાઓ એક જ (સપાંતી) છે. 


હવે, આલેખ દોરવા માટે 


x + y = 7 


∴ y = 7 - x 


x = 0 માટે y = 7 - 0 = 7 


x = 7 માટે y = 7 - 7 = 0 


તથા 


∴ 3x = 3y = 21 


∴ 3y = 21 - 3x 


∴ y =  fraction numerator bold 21 bold space bold minus bold space bold 3 bold x over denominator bold 3 end fraction

∴ y = 7 - x


 ∴ બંને સમીકરણો માટે સમાન કોષ્ટક થશે. 



∴ આલેખમાં x + y = 7 (અથવા 3x + 37 = 21 એટલે કે, x + y = 7)ના ઉકેલગણના બે ઘટકોની ક્રમયુક્ત જોડ (0, 7) અને (7, 0)નું નિરૂપણ કરીએ અને તેમને જોડીને રેખા બનાવીએ. 




અહીં, બંને સમીકરણોનો આલેખ સમાન છે. ઉપરાંત, જોપી શકાય છે કે રેખા પર અનંત બિંદુઓ છે. જે તમામ બિંદુઓ ઉકેલગણ બનાવે છે. 

આમ, સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલગણ {(x, y) | x + y = 7, x, y ε R} 

રાકેશ 15 પેન અને 20 પેન્સિલ રૂ 190 માં ખરીદે છે. એક પેન અને એક પેન્સિલની કિંમત રુ 11 છે. આ વિધાનોને અનુરૂપ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણોની જોડ રચો. 

ધારો કે, એક પેનની કિંમત રુ x અને એક પેન્સિલની કિંમત રુ y છે. 

∴ એક પેન અને એક પેન્સિલની કુલ કિંમત રુ (x + y) થાય. 


પરંતુ આ કિંમત રુ 11 છે. 


∴ x + y = 11                                .....1


15 પેનની કિંમત રુ 15x અને 20 પેન્સિલની કિંમત રુ 20y છે. 


∴ 15 પેન અને 20 પેન્સિલની કુલ કિંમત રુ (15x + 20y) થાય. 


પરંતુ, આ કિંમત રુ 190 છે. 


∴ 15x + 20y = 190                  .......2


આમ, સમીકરણો (1) અને (2) એ પ્રશ્નની વિગતો પરથી મળતું દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ છે. 

આલેખની રીતે નીચે આપેલા દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ મેળવો : 
3x + 4y = 10 અને 3x + 4y = 15 

3x + 4y = 10 

∴ 4y = 10 -3x 

∴ y = fraction numerator bold 10 bold space bold minus bold space bold 3 bold x over denominator bold 4 end fraction
x = -2 માટે y = fraction numerator bold 10 bold space bold minus bold space bold 3 bold left parenthesis bold minus bold 2 bold right parenthesis bold space over denominator bold 4 end fraction bold space bold equals bold space fraction numerator bold 10 bold space bold plus bold space bold 6 over denominator bold 4 bold space end fraction bold space bold equals bold space bold 4 bold space

x = 2 માટે y = fraction numerator bold 10 bold space bold minus bold space bold 3 bold left parenthesis bold minus bold 2 bold right parenthesis over denominator bold 4 end fraction bold space bold equals bold space fraction numerator bold 10 bold space bold plus bold space bold 6 bold space over denominator bold 4 end fraction bold space bold equals bold space bold 1



∴ આલેખપત્રમાં 3x + 4y = 10 ના ઉકેલગણના બે ઘટકોની ક્રમયુક્ત જોડ (-2, 4) અને (2, 1) નું નિરૂપણ કરીએ અને તેમને જોડીને રેખા બનાવીએ. 

3x + 4y = 15 

∴ 4y = 15 - 3x 

∴ y = fraction numerator bold 15 bold space bold minus bold space bold 3 bold x bold space over denominator bold 4 end fraction
x = 5 માટે y = fraction numerator bold 15 bold space bold minus bold space bold 3 bold left parenthesis bold 5 bold right parenthesis bold space over denominator bold 4 end fraction bold space bold equals bold space bold 0 over bold 4 bold space bold equals bold space bold 0

x = 1 માટે y = fraction numerator bold 15 bold space bold minus bold space bold 3 bold left parenthesis bold 1 bold right parenthesis bold space over denominator bold 4 bold space end fraction bold space bold equals bold space bold 12 over bold 4 bold space bold equals bold space bold 3



∴ આલેખપત્રમાં 3x + 4y = 15ના ઉક્ર્લગણૅના બે ઘટકોની ક્રમયુક્ત જોડ (5, 0) અને (1, 3)નું નિરૂપણ કરીએ અને તેમને જોડીને રેખા બનાવીએ. 



આ આલેખો (રેખાઓ) એકબીજાને છેદતાં નથી એટલે કે, રેખાઓ સમાંતર છે. તેથી આપેલા સુરેખ સમીકરણ્યુગ્મને ઉકેલ નથી. આમ, આપેલ દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલગણ bold empty set છે. 

નીચે આપેલી વિગતો પરથી દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ રચો: એક દુકાનદાર 5 પેન્ટ અને 8 શર્ટ રુ 3100 માં વેચે છે. એક પૅન્ટ અને શર્ટની જોડીની કિંમત રુ 500 છે. 

ધારો કે એક પૅન્ટની કિંમત રુ x અને એક શર્ટની કિંમત રુ y છે. 

∴ એક પૅન્ટ અને શર્ટૅની જોડીની કિંમત રુ (x + y) થાય. 


પરંતુ, આ કિંમત રુ 500 છે. 


∴ x + y = 500                   ......1


5 પૅન્ટૅની કિંમત રુ5 x અને 8 શર્ટની કિંમત રુ (x +y) થાય. 


પરંતુ, આ કિંમત રુ 3100 છે. 


∴ 5x + 8y = 3100             .......2


આમ, સમીકરણો (1) અને (2) એ પ્રશ્નની વિગતો પરથી મળતું દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ કયું છે.