Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for
CBSE Gujarat Board Haryana Board

Previous Year Papers

Download the PDF Question Papers Free for off line practice and view the Solutions online.
Currently only available for
Class 10 Class 12

વર્તુળ

$bold circled dot$ (O, r₁) અને ⊙(O, r₂) બે સમકેન્દ્રીદ્રી વર્તુળો છે, જેમાં r₁ > r₂. ⊙(O, r₂) ની જીવા $top enclose top enclose bold AB end enclose$ એ ⊙ (O, r₂) ને P બિંદુએ સ્પર્શે છે. સાબિત કરો કે, P એ $top enclose bold AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.

એક વર્તુળ ∆ABCની બાજુઓ $top enclose bold BC bold comma bold space top enclose bold CA bold comma bold space top enclose bold AB bold space$ ને અનુક્રમે D, E, Fમાં સ્પર્શે છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા 4 એકમ છે. જો BD = 8, DC = 6 હોય તો, AB અને AC શોધો.

ધારો કે, ABCની ત્રણેય બાજુઓ $top enclose bold BC bold comma bold space top enclose bold CA bold comma bold space top enclose bold AB bold space$ ને અનુક્રમે D, E, Fમાં સ્પર્શતા વર્તુળનું કેન્દ્ર I છે.

$bold therefore bold space top enclose bold ID bold space bold perpendicular bold space top enclose bold BC bold comma end enclose bold space top enclose bold IE bold space bold perpendicular bold space top enclose bold AC bold comma bold space top enclose bold IF bold space bold perpendicular bold space top enclose bold AB$ અને ID = AE = AF = વર્તુળની ત્રિજ્યા = 4 (આપેલ છે) ઉપરાંત આપેલ છે કે BD = 8 અને DC = 6

BF = BD = 8, CE = CD = 6

ધારો કે, AF = AE = x અને BC = a, CA = b, AB = c

∴ C = AB = x + 8, b = AC = x + 6, a = BC = 14

∴ ∆ABCની પરિમિતી = AB + BC + AC = 2x + 28

∴ ∆ABCની અર્ધપરિમિતી = s = x + 14

∴ s - a = x + 14 - 14 = x

s - b = x + 14 - (x + 6) = 8

s - c = x + 14 - (x + 8) = 6

$bold increment bold ABC bold space bold ન ું bold space bold ક ્ ષ ે ત ્ રફળ bold space bold space bold equals bold space square root of bold s bold left parenthesis bold s bold space bold minus bold space bold a bold 0 bold left parenthesis bold s bold space bold minus bold space bold b bold right parenthesis bold left parenthesis bold s bold space bold minus bold space bold c bold right parenthesis bold space end root bold equals bold space square root of bold left parenthesis bold x bold space bold plus bold space bold 14 bold right parenthesis bold space bold x bold times bold 8 bold times bold 6 end root bold equals bold space square root of bold 48 bold x bold left parenthesis bold x bold space bold plus bold space bold 14 bold right parenthesis end root bold increment bold AIB bold space bold ન ું bold space bold ક ્ ષ ે ત ્ રફળ bold space bold space bold equals bold 1 over bold 2 bold AB bold space bold times bold space bold IF bold 1 over bold 2 bold space bold equals bold space bold left parenthesis bold x bold space bold plus bold space bold 8 bold right parenthesis bold space bold times bold space bold equals bold space bold 2 bold space bold left parenthesis bold x bold space bold plus bold space bold 8 bold right parenthesis bold space bold increment bold BIC bold space bold ન ું bold space bold ક ્ ષ ે ત ્ રફળ bold space bold equals bold space bold 1 over bold 2 bold space bold BC bold space bold times bold space bold ID bold equals bold space bold 1 over bold 2 bold 14 bold space bold times bold space bold 4 bold space bold equals bold space bold 28 bold increment bold CIA bold space bold ન ું bold space bold ક ્ ષ ે ત ્ રફળ bold space bold equals bold space bold 1 over bold 2 bold space bold AC bold space bold times bold space bold IE bold space bold equals bold space bold 1 over bold 2 bold left parenthesis bold x bold space bold plus bold space bold 6 bold right parenthesis bold space bold times bold space bold 4 bold space bold equals bold space bold 2 bold left parenthesis bold x bold space bold plus bold space bold 6 bold right parenthesis bold space$

ID = IF

$bold therefore bold space bold BI with bold rightwards arrow on top bold space bold એ bold space bold angle bold Bન ો bold space bold દ ્ વ િ ભ ા જક bold space bold છ ે bold. bold ત ે bold space bold જ bold space bold પ ્ રમ ા ણ ે bold space bold AI with bold rightwards arrow on top bold space bold એ bold space bold angle bold A bold space bold ન ો bold space bold દ ્ વ િ ભ ા જક bold space bold છ ે bold space bold અન ે bold space bold CI with bold rightwards arrow on top bold space bold એ bold space bold angle bold C bold space bold ન ો bold space bold દ ્ વ િ ભ ા જક bold space bold છ ે$

∴ બિંદુ I એ ∆ABC ના અંદરના ભાગમાં છે.

∆AIBનું ક્ષેત્રફળ + ∆BICનું ક્ષેત્રફળ + ∆CIAનું ક્ષેત્રફળ

= ∆ABCનું ક્ષેત્રફળ

$bold therefore bold space bold 2 bold left parenthesis bold x bold space bold plus bold space bold 8 bold right parenthesis bold space bold plus bold space bold 28 bold space bold plus bold space bold 2 bold space bold left parenthesis bold x bold space bold plus bold space bold 6 bold right parenthesis bold space bold equals bold space square root of bold 48 bold x bold left parenthesis bold x bold space bold plus bold space bold 14 bold right parenthesis end root bold therefore bold 4 bold a bold space bold plus bold space bold 56 bold space bold equals bold space bold 4 square root of bold 3 bold x end root bold space square root of bold x bold space bold plus bold space bold 14 end root bold therefore bold x bold space bold plus bold space bold 14 bold space bold equals bold space square root of bold 3 bold x end root bold space square root of bold x bold space bold plus bold space bold 14 end root bold therefore square root of bold x bold space bold plus bold space bold 14 end root bold space bold equals bold space square root of bold 3 bold x end root bold space bold left parenthesis bold because bold x bold space bold plus bold space bold 14 bold space bold # bold space bold 0 bold comma bold space bold x bold space bold 0 bold right parenthesis$

∴ x + 14 = 3x

∴ x = 7

∴ AB = x + 8 = 7 + 8 = 15

AC = x + 6 = 7 + 6 = 13

A અને B એક વર્તુળ પરનાં બે ભિન્ન બિંદુઓ છે, જેથી $top enclose bold AB$ વ્યાસ નથી. A અને B બિંદુએ વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકો P બિંદુમાં છેદે છે. સાબિત કરો કે, ∠AOB અને ∠APB એકબીજાના પૂરકકોણો છે. ઉપરાંત સાબિત કરો કે, PA = PB.

વર્તુળના કેન્દ્ર Oમાંથી પસાર થતી એક રેખા વર્તુળના એક સ્પર્શકને Qબિંદુમાં છેદે છે. સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ P છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા 5 હોય અને OQ = 13 હોય, તો PQ શોધો.

$top enclose bold AB$ એક વર્તુળનો વ્યાસ છે. સાબિત કરો કે, A અને B બિંદુએ વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર સમાંતર છે.

Switch

Chapter Chosen

Book Chosen

Subject Chosen

Book Store

Previous Year Papers

વર્તુળ

Switch